Нужно решить систему уравнений в положительных действительных числах:
Подобрал такое решение - (1/18; 1/20; 1/15). Проверил на wolframalpha - да, решение такое и оно единственное.
Помогите пожалуйста решить задание математически, а не подбором. Буду благодарен за помощь.
К этой задаче надо относится, как к головоломке, найти способ избавиться от нелинейности.
Так как фактически — это система нелинейных уравнений — нелегкая задача даже для численных методов, не говоря уж о аналитических…
а здесь, навскидку, можно пойти так:
складываем первое уравнение со вторым, потом, то что получится — с третьим. получим такую штуку:
1/x+1/y+1/z=53
теперь рассмотрим первую часть уравнения.преобразуем ее так:
(yz+xz+xy)/xyz=53
потом
yz+xz+xy=53xyz
yz+xz+xy-53xzy=0
дальше выражение 53xyz разобьем следующим образом
yz+xz+xy-18xzy-20xyz-15xzy=0
сгруппируем
yz(18x-1)+xz(15y-1)+xy(20z-1)=0
так как по условию x, y, z -положительные числа, т.е.>0, то единственный способ получить 0 — это приравнять к нулю каждые из
18x-1=0
20y-1=0
15z-1=0
почему единственный? тут можно еще дальше порассуждать,… ну, думаю, доказать это можно будет, даже с учетом определенных нюансов…
ПЕРЕЙДИТЕ В ПОЛНУЮ ВЕРСИЮ
Так как фактически — это система нелинейных уравнений — нелегкая задача даже для численных методов, не говоря уж о аналитических…
а здесь, навскидку, можно пойти так:
складываем первое уравнение со вторым, потом, то что получится — с третьим. получим такую штуку:
1/x+1/y+1/z=53
теперь рассмотрим первую часть уравнения.преобразуем ее так:
(yz+xz+xy)/xyz=53
потом
yz+xz+xy=53xyz
yz+xz+xy-53xzy=0
дальше выражение 53xyz разобьем следующим образом
yz+xz+xy-18xzy-20xyz-15xzy=0
сгруппируем
yz(18x-1)+xz(15y-1)+xy(20z-1)=0
так как по условию x, y, z -положительные числа, т.е.>0, то единственный способ получить 0 — это приравнять к нулю каждые из
18x-1=0
20y-1=0
15z-1=0
почему единственный? тут можно еще дальше порассуждать,… ну, думаю, доказать это можно будет, даже с учетом определенных нюансов…
первая же ссылка